Gmailで新着メールが通知されない。

Googleの2段階認証に切り替えたところ、しばらく、スマートフォンでGmailを問題なく使えていましたが、何日かすると、Gmailで新着メールが通知されなくなりました。
OSおよびアプリケーションのバージョンは、以下のとおりです。

• Android 2.3
• Gmail 2.3.6
• ジョルテ 1.5.0

Android 2.3のGmailは、2段階認証に対応していないため、アプリケーション固有の設定は行いました。
Gmailのアンインストール、再インストールを行ったところ、Gmailを問題なく使えるようになり、一安心と思ったら、今度は、「設定」→「同期」→自分のGoogleのアカウントで、同期の設定を確認したところ、カレンダーを同期できないエラーが出ていました。
そこで、手動でカレンダーを同期したところ、また、Gmailで新着メールが通知されなくなりました。
そのため、Googleの2段階認証をOFFしたところ、ようやくGmail、カレンダーとも、同期するようになり、正常動作に戻りました。
どうやら、今のスマートフォンの環境で2段階認証をONにすると、Gmailとカレンダーのどちらか一方しか、同期できないようです。